Ciąg Fibonacciego

1. Ciąg Fibonacciego- ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.   

2. Ciąg Fibonacciego w muzyce:   

Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Zależności takie występują w utworach muzycznych – najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę.        

W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz Stockhausen Klavierstück IX, Luigi Nono Il canto sospeso, Cristóbal Halffter Fibonacciana. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. 

Ciąg Fibonacciego używany jest też przez twórców spoza muzyki klasycznej, np. zespół Tool wykonujący muzykę z pogranicza rocka i metalu progresywnego w albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej. 

W muzyce znany jest Kanon D-dur Pachelbela. Zapis nutowy jest skonstruowany według liczb Fibonacciego i którego reminescencję można spotkać w wielu współczesnych utworach muzycznych. 

Kanon D-dur-utwór Johanna Pachelbela, którego skomponowanie datuje się na około 1680 rok.

  

LINK do Kanon D-dur    

Polecam obejrzeć występ Roba Parovoniana, który w humorystyczny sposób ukazał zależność współczesnych utworów muzycznych od ciągu Fibonacciego. LINK do filmu

 

3. Ciąg Fibonacciego w biologii: 

W kształtach wielu roślin widać linie spiralne. Na przykład na owocu ananasa 8 takich linii biegnie w jedną stronę, a 5 lub 13 w przeciwną. Na tarczy słonecznika może się krzyżować 55 spiral z 89 (liczby te bywają większe). Również różyczki kalafiora ułożone są spiralnie.

U większości roślin takie organy jak łodyga, liście czy kwiaty rozwijają się z małego, centralnie usytuowanego skupiska komórek – merystemu. Każdy zawiązek nowego organu wyrasta z merystemu w innym kierunku, pod pewnym kątem w stosunku do zawiązka, który pojawił się wcześniej. Okazuje się, że u wielu roślin ten kąt jest taki sam i że to właśnie dzięki niemu powstają wspomniane linie spiralne. Ten kąt to w przybliżeniu 137,5 stopnia (jest to tak zwany „Złoty kąt”). „Złotego kąta” nie da się wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360 stopni wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej (oparcie na liczbach Fibonacciego), ale żaden ułamek zwykły nie odpowiada mu ściśle.

Kiedy pojawiają się kolejne zawiązki, to jeśli każdy następny utworzy z poprzednim wspomniany „złoty kąt”, nigdy nie dojdzie do tego, by dwa z nich (lub więcej) rozwijały się w tym samym kierunku. Dzięki temu organy nie wyrastają z merystemu promieniście, lecz układają się w linie spiralne. 

 

 

4. Ciąg Fibonacciego w literaturze: 

Motyw ciągu Fibonacciego wykorzystany został także w utworach literackich. W książce Kod Leonarda da Vinci Dana Browna stanowi on element jednego z kodów, który muszą złamać główni bohaterowie. W powieści Gniazdo światów Marka Huberatha ciąg Fibonacciego jest podstawą struktury wszechświata, na której oparte są kolejne jego poziomy.

Istnieją też utwory poetyckie nawiązujące formą do ciągu Fibonacciego. Współczesny poeta polski Marcin Orliński (na potrzeby czasopisma satyrycznego) nazwał ten gatunek fibonagramem. W obrębie fibonagramu wyróżnił fibonagram literowy (liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada wartości kolejnych wyrazów w ciągu) i fibonagram wyrazowy (liczba słów w wersie odpowiada wartości kolejnych wyrazów w ciągu).